Question

已知函数f（x）=e^x，g（x）=mx+n．
（1）设h（x）=f（x）-g（x）．
①若函数h（x）在x=0处的切线过点（1，0），求m+n的值；
②当n=0时，若函数h（x）在（-1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；
（2）设函数r（x）=

1

f(x)

+

nx

g(x)

，且n=4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义即可得到结论．
（2）求出r（x）的表达式，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性即可．

解答： 解：（1）①h（x）=f（x）-g（x）=e^x-mx-n．
则h（0）=1-n，函数的导数f′（x）=e^x-m，
则f′（0）=1-m，则函数在x=0处的切线方程为y-（1-n）=（1-m）x，
∵切线过点（1，0），∴-（1-n）=1-m，即m+n=2．
②当n=0时，h（x）=f（x）-g（x）=e^x-mx．
若函数h（x）在（-1，+∞）上没有零点，
即e^x-mx=0在（-1，+∞）上无解，
若x=0，则方程无解，满足条件，
若x≠0，则方程等价为m=

ex

x

，
设g（x）=

ex

x

，
则函数的导数g′（x）=

ex(x-1)

x2

，
若-1＜x＜0，则g′（x）＜0，此时函数单调递减，则g（x）＜g（-1）=-e^-1，
若x＞0，由g′（x）＞0得x＞1，
由g′（x）＜0，得0＜x＜1，即当x=1时，函数取得极小值，同时也是最小值，此时g（x）≥g（1）=e，
综上g（x）≥e或g（x）＜-e^-1，
若方程m=

ex

x

无解，则-e^-1≤m＜e．
（2）∵n=4m（m＞0），
∴函数r（x）=

1

f(x)

+

nx

g(x)

=

1

ex

+

nx

mx+n

=

1

ex

+

4x

x+4

，
则函数的导数r′（x）=-

1

ex

+

16

(x+4)2

=

16ex-(x+4)2

ex(x+4)2

，
设h（x）=16e^x-（x+4）²，
则h′（x）=16e^x-2（x+4）=16e^x-2x-8，
[h′（x）]′=16e^x-2，
当x≥0时，[h′（x）]′=16e^x-2＞0，则h′（x）为增函数，即h′（x）＞h′（0）=16-2=14＞0，
即h（x）为增函数，∴h（x）≥h（0）=16-16=0，
即r′（x）≥0，即函数r（x）在[0，+∞）上单调递增，
故r（x）≥r（0）=

1

e0

+0=1，
故当x≥0时，r（x）≥1成立．

点评：本题主要考查导数的几何意义的应用，以及利用导数研究函数单调性，在判断函数的单调性的过程中，多次使用了导数来判断函数的单调性是解决本题的关键，难度较大．