Question

函数f（x）=

ax2+2

x+b

是奇函数，且f（1）=3．
（1）求实数a，b的值．
（2）用定义法证明f（x）在(0，

2

]上是减函数；
（3）求f（x）在（0，+∞）的值域．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由于函数f（x）=

ax2+2

x+b

是奇函数，且f（1）=3．可得f（-1）=

a+2

-1+b

=-3，f（1）=

a+2

1+b

=3．解出即可．
（2）利用减函数的定义即可证明；
（3）利用基本不等式即可得出．

解答： （1）解：∵函数f（x）=

ax2+2

x+b

是奇函数，且f（1）=3．
∴f（-1）=

a+2

-1+b

=-3，f（1）=

a+2

1+b

=3．
解得a=1，b=0．
∴f（x）=

x2+2

x

=x+

2

x

．
（2）证明：?0＜x₁＜x₂≤

2

，
则x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜2，即x₁x₂-2＜0．
∴f（x₁）-f（x₂）=x1+

2

x1

-(x2+

2

x2

)=

(x1-x2)(x1x2-2)

x1x2

＞0．
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在(0，

2

]上是减函数．
（3）∵x∈（0，+∞），
∴f(x)≥2

x• 2 x

=2

2

，当且仅当x=

2

时取等号．
∴f（x）在（0，+∞）的值域是[2

2

，+∞)．

点评：本题考查了函数的奇偶性与单调性、值域、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．