Question

已知函数f（x）=xlnx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求证：对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），恒有f（x₁+x₂）＞f（x₁）+f（x₂）．并依据此结论，写出一般性结论，不需要证明；
（3）已知不等式ln（1+x）＜x在x＞-1且x≠0时恒成立，求证：

1

22

ln2²+

1

32

ln3²+L+

1

(n+1)2

ln（n+1）²＞

n

2(n+1)(n+2)

（n∈N^*）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,抽象函数及其应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数的导数，利用导数即可求函数f（x）的单调区间；
（2）根据函数的单调性的性质，即可证明：对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），恒有f（x₁+x₂）＞f（x₁）+f（x₂）．
（3）构造函数h（x）=

x

2(x+1)(x+2)

，x＞1，利用函数的单调性，即可证明不等式．

解答： 解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=1+lnx，
令f′（x）=1+lnx=0有x=

1

e

，
∴当0＜x＜

1

e

时f′（x）＜0；x＞

1

e

时f′（x）＞0；
因此f（x）的单调减区间为（0，

1

e

），单调增区间为（

1

e

，+∞）．
（2）设g（x）=

f(x)

x

=lnx，
∵g′（x）=

1

x

＞0；
∴g（x）在（0，+∞），上为单调增函数，
则对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），有

f(x1+x2)

x1+x2

＞

f(x1)

x1

，

f(x1+x2)

x1+x2

＞

f(x2)

x2

，
∴f(x1)+f(x2)＜

x1

x1+x2

?f(x1+x2)+

x2

x1+x2

?f(x1+x2)=f(x1+x2)，
一般性结论：
已知f（x）是在（0，+∞），上每一点处导数均存在的函数，若对任意的x＞0有xf′（x）＞f（x），那么对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），恒有f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）成立．
（3）构建函数，利用函数的单调性可证
设函数h（x）=

x

2(x+1)(x+2)

，x＞1，
则h′(x)=

1-x2

2(x+1)2(x+2)2

＜0，
即h（x）在（1，+∞）单调减，h（x）≤h（1），
∴

n

2(n+1)(n+2)

≤

1

2×2×3

，
又

1

22

ln22-

1

2×2×3

=

1

12

(ln64-1)＞0，
即

1

22

ln22+

1

32

ln33+…+

1

(n+1)2

ln(n+1)2≥

1

22

ln22＞

1

2×2×3

≥

n

2(n+1)(n+2)

，
∴：

1

22

ln2²+

1

32

ln3²+L+

1

(n+1)2

ln（n+1）²＞

n

2(n+1)(n+2)

（n∈N^*）．

点评：本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系，以及利用导数证明不等式，综合性较强，运算量较大，难度较大．