题目内容

设函数f（x）=x+
a
x
+lnx（x＞0），若对?x＞0，都有f（x）＞3成立，求实数a的取值范围．
考点：利用导数研究函数的单调性,函数恒成立问题
专题：导数的综合应用
分析：若f（x）=x+
a
x
+lnx＞3恒成立，则a＞3x-x•lnx-x2恒成立，构造函数h（x）=3x-x•lnx-x2，利用导数法求出函数的最大值，可得实数a的取值范围．
解答： 解：∵若f（x）=x+
a
x
+lnx＞3恒成立，
则a＞3x-x•lnx-x2恒成立，
令h（x）=3x-x•lnx-x2，
则h′（x）=3-lnx-1-2x=2-2x-lnx
∵当0＜x＜1时，h′（x）＞0，
当x＞1时，h′（x）＜0，
故当x=1时，h（x）取得最大值2，
故a＞2，
即实数a的取值范围为（2，+∞）
点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，导数法求函数的最值，其中将恒成立问题转化为函数最值问题是解答的关键．
练习册系列答案
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若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（　　）
A、5B、6C、7D、8
一厂家向用户提供的一箱产品共12件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查（取出的产品不放回箱子），若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品．
（Ⅰ）求这箱产品被用户接收的概率；
（Ⅱ）记抽检的产品件数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
已知函数f（x）=ax-ax2+lnx，a≥0，当a=1时，求f（x）的单调区间．
（1）2×（
32
×
3
）6+(
2
2
)
4
3
-4×(
16
49
)
1
2
-
42
×80.25+（-2014）0
（2）log2.56.25+lg
1
100
+ln（e
e
）+log2（log216）
某地一渔场的水质受到了污染．渔场的工作人员对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m（m∈N*）个单位的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足y=mf（x），其中f（x）=
log3(x+4)，0＜x≤5
6
x-2
，x＞5
，当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）且不高于18（毫克/升）时称为最佳净化．
（Ⅰ）如果投放的药剂质量为m=6，试问渔场的水质达到有效净化一共可持续几天？
（Ⅱ）如果投放的药剂质量为m，为了使在8天（从投放药剂算起包括第8天）之内的渔场的水质达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的取值范围．
已知函数f（x）=x2+bx+c（其中b，c为实常数）．
（1）若b＞2，且y=f（sinx）的最大值为5，最小值为-1，求函数的解析式；
（2）是否存在这样的函数y=f（x），使得{y|y=x2+bx+c，-1≤x≤0}=[-1，0]，若存在，求出f（x）的解析式；
（3）已知集合A={x|x2+Bx+C=x}中有且仅有一个元素，若f[f（x0）]=x0，求证：f（x0）=x0．
某校高三（1）班共有40名学生，他们每天自主学习的时间全部在180分钟到330分钟之间，按他们学习时间的长短分5个组统计，得到如下频率分布表：
组别 分组 频数 频率
第一组 [180，210）   0.1
第二组 [210，240） 8 s
第三组 [240，270） 12 0.3
第四组 [270，300） 10 0.25
第五组 [300，330）   t
（1）求分布表中s，t的值；
（2）王老师为完成一项研究，按学习时间用分层抽样的方法从这40名学生中抽取20名进行研究，问应抽取多少名第一组的学生？
（3）已知第一组学生中男、女生人数相同，在（2）的条件下抽取的第一组学生中，既有男生又有女生的概率是多少？
（理）已知定义在R上的函数f（x），对任意实数x1，x2都有f（x1+x2）=1+f（x1）+f（x2），且f（1）=1．
（1）若对任意正整数n，有an=f（
1
2n
）+1，求a1、a2的值，并证明{an}为等比数列；
（2）设对任意正整数n，有bn=
1
f(n)
，若不等式bn+1+bn+2+…+b2n＞
6
35
log2（x+1）对任意不小于2的正整数n都成立，求实数x的取值范围．

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