Question

16．若函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0且|φ|＜$\frac{π}{2}$）在区间（$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$）上是单调减函数，且函数值从1减小到-1，则f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 根据函数的单调性和最值求出ω 和φ的值即可得到结论．

解答 解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0且|φ|＜$\frac{π}{2}$）在区间（$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$）上是单调减函数，且函数值从1减小到-1，
∴$\frac{T}{2}$=$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即函数的周期T=π，
∵T=$\frac{2π}{ω}$=π，
∴ω=2，
则f（x）=sin（2x+φ），
∵f（$\frac{π}{6}$）=sin（2×$\frac{π}{6}$+φ）=1，
∴sin（$\frac{π}{3}$+φ）=1，
即$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
即φ=$\frac{π}{6}$+2kπ，k∈Z，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴当k=0时，φ=$\frac{π}{6}$，
即f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
则f（$\frac{π}{4}$）=sin（2×$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{6}$）=sin（$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{6}$）=cos$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案是：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查三角函数的图象的应用，根据条件求出ω 和φ的值是解决本题的关键．