Question

1．已知α，β为锐角，$sinα=\frac{{\sqrt{2}}}{10}，sinβ=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，则cos2β=$\frac{4}{5}$，α+2β=$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，cosβ的值，利用二倍角公式可求cos2β，sin2β的值，利用两角和的余弦函数公式可求sin（α+2β）的值，结合α+2β的范围，由余弦函数的性质即可得解．

解答 解：∵α，β为锐角，$sinα=\frac{{\sqrt{2}}}{10}，sinβ=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，可得：cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，cosβ=$\sqrt{1-si{n}^{2}β}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴cos2β=1-2sin²β=1-2×（$\frac{\sqrt{10}}{10}$）²=$\frac{4}{5}$，sin2β=2sinβcosβ=2×$\frac{\sqrt{10}}{10}$×$\frac{3\sqrt{10}}{10}$=$\frac{3}{5}$，
∵cos（α+2β）=cosαcos2β-sinαsin2β=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$×$\frac{4}{5}$-$\frac{\sqrt{2}}{10}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵α+2β∈（0，$\frac{3π}{2}$），
∴α+2β=$\frac{π}{4}$．
故答案为：$\frac{4}{5}$，$\frac{π}{4}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的余弦函数公式，余弦函数的性质在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．