Question

7．已知直线$l：\left\{{\begin{array}{l}{x=tcosα+m}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$（t为参数）恒过椭圆$C：\left\{{\begin{array}{l}{x=5cosφ}\\{y=3sinφ}\end{array}}\right.$（φ为参数）在右焦点F．
（1）求m的值；
（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）椭圆的参数方程化为普通方程，可得F的坐标，直线l经过点（m，0），可求m的值；
（2）将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，利用参数的几何意义，即可求|FA|•|FB|的最大值与最小值．

解答 解：（1）椭圆的参数方程化为普通方程，得$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
∴a=5，b=3，c=4，则点F的坐标为（4，0）．
∵直线l经过点（m，0），∴m=4．…（4分）
（Ⅱ）将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，并整理得：（9cos²α+25sin²α）t²+72tcosα-81=0．
设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t₁，t₂，则
|FA|•|FB|=|t₁t₂|=$\frac{81}{9co{s}^{2}α+25si{n}^{2}α}$=$\frac{81}{9+16si{n}^{2}α}$．…（8分）
当sinα=0时，|FA|•|FB|取最大值9；
当sinα=±1时，|FA|•|FB|取最小值$\frac{81}{25}$．…（10分）

点评 本题考查参数方程化成普通方程，考查学生的计算能力，正确运用参数的几何意义是关键．