Question

4．已知函数$y=sin\frac{x}{2}+\sqrt{3}cos\frac{x}{2}，x∈R$．
（Ⅰ）求该函数的周期和最大值；
（Ⅱ）该函数的图象经过怎样的平移和伸缩变换可以得到y=sinx（x∈R）的图象．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用两角和的正弦函数化简表达式，然后求解求该函数的周期和最大值；
（Ⅱ）利用三角函数的图形的变换原则，推出结果即可．

解答 （解：（Ⅰ）$y=sin\frac{x}{2}+\sqrt{3}cos\frac{x}{2}=2sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{3}）$…（3分）
所以，函数的周期$T=\frac{2π}{{\frac{1}{2}}}=4π$，函数的最大值为y_max=2．…（6分）．
（Ⅱ）该函数的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向右平移$\frac{π}{3}$个单位，可以得到y=sinx（x∈R）的图象．
或将该函数的图象上所有的点向右平移$\frac{2π}{3}$个单位，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$倍（纵坐标不变），可以得到y=sinx（x∈R）的图象…（12分）

点评 本题考查三角函数的周期和最大值，函数的图象的平移和伸缩变换．基本知识的考查．