Question

6．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，若$Sn=n{a_{n+1}}+{2^n}，{a_1}=1$，则数列$\left\{{\frac{1}{{n（{{a_n}-a{\;}_{n+1}}）}}}\right\}$的前n项和T_n=$\frac{3}{2}$-$\frac{2}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 令n=1，可得求得a₂=-1，当n≥2时，由a_n=S_n-S_n-1，求得 $\frac{1}{n{（a}_{n}{-a}_{n+1}）}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，由T₁=$\frac{1}{{a}_{1}{-a}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，利用等比数列的求和公式求得T_n的结果．

解答 解：∵S_n为等差数列{a_n}的前n项和，若$Sn=n{a_{n+1}}+{2^n}，{a_1}=1$，
令n=1，可得 a₁=1=a₂+2，求得a₂=-1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=na_n+1+2ⁿ-（n-1）a_n-2^n-1，∴n（a_n-a_n+1）=2^n-1；
∴$\frac{1}{n{（a}_{n}{-a}_{n+1}）}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，∴T₁=$\frac{1}{{a}_{1}{-a}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列$\left\{{\frac{1}{{n（{{a_n}-a{\;}_{n+1}}）}}}\right\}$的前n项和T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{\frac{1}{2}[1{-（\frac{1}{2}）}^{n-1}]}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{2}{{2}^{n}}$，
故答案为：$\frac{3}{2}$-$\frac{2}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．