Question

已知椭圆E的中心在原点，左焦点为(-

15

，0)，且经过点M（4，1）．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若斜率为1的直线l（不过点M）交椭圆E于不同的两点A，B，求证：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，从而可得a²-b²=15，

16

a2

+

1

b2

=1，从而解得；
（2）由题可设直线l方程为y=x+m；直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂；要证直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形，只要证明k₁+k₂=0；从而证明．

解答： 解：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，
∵c=

15

，∴a²-b²=15；
又∵

16

a2

+

1

b2

=1；
故a²=20，b²=5；
故椭圆E的方程为

x2

20

+

y2

5

=1；
（2）证明：由题可设直线l方程为y=x+m；直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂；
将方程y=x+m代入

x2

20

+

y2

5

=1整理得，
5x²+8mx+4m²-20=0；
△=64m²-20（4m²-5）＞0，
解得，-5＜m＜5；
要证直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形，
只要证明k₁+k₂=0；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；
则x₁+x₂=-

8m

5

，x₁x₂=

4m2-20

5

；
故k₁+k₂=

y1-1

x1-4

+

y2-1

x2-4

=

(y1-1)(x2-4)+(y2-1)(x1-4)

(x1-4)(x2-4)

；
而（y₁-1）（x₂-4）+（y₂-1）（x₁-4）
=（x₁+m-1）（x₂-4）+（x₂+m-1）（x₁-4）
=2x₂x₁+（m-5）（x₁+x₂）-8（m-1）
=2

4m2-20

5

-（m-5）

8m

5

-8（m-1）=0；
故k₁+k₂=0．

点评：本题考查了圆锥曲线与直线方程联立求解，化简比较困难，属于中档题．