Question

设函数f（x）=x²+|x-a|（x∈R，a∈R）．
（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）＜10对x∈（-1，3）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的判断与证明,分段函数的应用

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x²+|x-2|=

x2+x-2(x≥2) x2-x+2(x＜2)

，作出函数图象，即可求得f（x）的单调区间；
（Ⅱ）依题意，可得x²-10＜a-x＜10-x²，即

a＞x2+x-10① a＜-x2+x+10②

，对①，令g（x）=x²+x-10，易求g（x）_max=g（3）=2，于是可得a≥2；同理可求h（x）=-x²+x+10=-(x-

1

2

)2+

41

4

的最小值h（x）_min=h（3）=4，得到a≤4，两者联立可得实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x²+|x-2|=

x2+x-2(x≥2) x2-x+2(x＜2)

，

∴原函数的减区间为（-∞，

1

2

），增区间为（

1

2

，+∞）；
（Ⅱ）∵x∈（-1，3），∴f（x）＜10可变为x²-10＜a-x＜10-x²，
即

a＞x2+x-10① a＜-x2+x+10②

，
对①，令g（x）=x²+x-10，其对称轴为x=-

1

2

，
∴g（x）_max=g（3）=2，∴a≥2；③
对②，令h（x）=-x²+x+10=-(x-

1

2

)2+

41

4

，其对称轴为x=

1

2

，
∴h（x）_min=h（3）=4，∴a≤4④，
由③④知：2≤a≤4．

点评：本题考查函数单调性的判断与证明，考查函数恒成立问题，突出等价转化思想与数形结合思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题．