Question

关于x的方程sinx+

3

cosx+a=0 在[0，2π）内有两个相异的实数解α、β，求实数a的取值范围及α+β的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：由已知得方程化为sin（x+

π

3

）=-

a

2

，sin（x+

π

3

）≠sin

π

3

=

3

2

．由此能求出a的取值范围；由sinα+

3

cosα+a=0，sinβ+

3

cosβ+a=0，得（sinα-sinβ）+

3

（cosα-cosβ）=0，从而tan（α+β）=

3

，由此能求出α+β．

解答： 解：∵sinx+

3

cosx=2（

1

2

sinx+

3

2

cosx）=2sin（x+

π

3

），
∴方程化为sin（x+

π

3

）=-

a

2

．
∵方程sinx+

3

cosx+a=0在（0，2π）内有相异二解，
∴sin（x+

π

3

）≠sin

π

3

=

3

2

．
又sin（x+

π

3

）≠±1，
∵当等于

3

2

和±1时仅有一解，
∴|-

a

2

|＜1．且-

a

2

≠

3

2

．即|a|＜2且a≠-

3

．
∴a的取值范围是（-2，-

3

）∪（-

3

，2）．
∵α、β是方程的相异解，
∴sinα+

3

cosα+a=0①．
sinβ+

3

cosβ+a=0②．
①-②得（sinα-sinβ）+

3

（cosα-cosβ）=0．
∴2sin

α-β

2

cos

α+β

2

-2

3

sin

α+β

2

sin

α-β

2

=0，
又sin

α+β

2

≠0，∴tan

α+β

2

=

3

3

．
∴tan（α+β）=

2tan α+β 2

1-tan2 α+β 2

=

3

．
∴α+β=

π

3

+kπ，k∈Z．
∵在[0，2π）内有两个相异的实数解α、β，
∴α+β=

π

3

．

点评：本题考查实数a的取值范围及α+β的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．