题目内容
已知函数f（x）=asinx+bcosx，a≠0，x∈R，f（x）的最大值是2，且在x=
处的切线方程与直线x-y=0平行．
（1）求a、b的值；
（2）先将f（x）的图象上每点的横坐标缩小为原来的
，纵坐标不变，再将其向右平移
个单位得到函数g（x）的图象，已知g（a+
）=
，a∈（
，
），求cos2a的值．
| π |
| 6 |
（1）求a、b的值；
（2）先将f（x）的图象上每点的横坐标缩小为原来的
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 4 |
| 13 |
| 10 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质
分析：（1）首先根据已知条件求出
=2，进一步利用导数求出a和b的另一个关系，进一步求出结果．
（2）根据（1）的结果求出f(x)=2sin(x+
)，然后根据图象的变换求出g（x）=2sin(2x-
)，然后根据角的恒等变换2α=（2α+
）-
，进一步利用变换求的结果．
| a2+b2 |
（2）根据（1）的结果求出f(x)=2sin(x+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
解答：
解：（1）函数f（x）=asinx+bcosx，a≠0，x∈R，f（x）的最大值是2，
则：
=2
由于在x=
处的切线方程与直线x-y=0平行．
则：f′（x）=acosx-bsinx
f′(
)=acos
-bsin
=1
所以：
解得：
（2）由（1）得：f(x)=2sin(x+
)
先将f（x）的图象上每点的横坐标缩小为原来的
，纵坐标不变，再将其向右平移
个单位，
得到函数g（x）=2sin(2x-
)
由于：g（a+
）=
，a∈（
，
），
解得：sin（2α+
）=
且2α+
∈(
，
)
则：cos（2α+
）=-
所以：cos2α=cos[（2α+
）-
]=cos（2α+
）cos
+sin（2α+
）sin
=
则：
| a2+b2 |
由于在x=
| π |
| 6 |
则：f′（x）=acosx-bsinx
f′(
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
所以：
|
解得：
|
（2）由（1）得：f(x)=2sin(x+
| π |
| 6 |
先将f（x）的图象上每点的横坐标缩小为原来的
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
得到函数g（x）=2sin(2x-
| π |
| 6 |
由于：g（a+
| π |
| 4 |
| 13 |
| 10 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
解得：sin（2α+
| π |
| 3 |
| 5 |
| 13 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
则：cos（2α+
| π |
| 3 |
| 12 |
| 13 |
所以：cos2α=cos[（2α+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
5
| ||
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点评：本题考查的知识点：三角函数的最值，利用导数求函数的斜率，正弦型函数的图象的变换，角的变换，三角函数的值．
练习册系列答案
新思维假期作业寒假吉林大学出版社系列答案
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