Question

已知数列a＞0，b＞0，a₁=1，前P项和S_n=

n+1

2

an
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求数列{

an

2n

}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得

an

an-1

=

n

n-1

，由此利用累乘法得

an

a1

=n，从而a_n=n．
（2）设数列数列{

an

2n

}的前n项和T_n，利用错位相减法能求出数列{

an

2n

}的前n项和．

解答： 解：（1）∵Sn=

n+1

2

an∴Sn-1=

n

2

an-1(n≥2)，
∴an=

n+1

2

an-

n

2

an-1，
即：

an

an-1

=

n

n-1

，
∴

a2

a1

=

2

1

，

a3

a2

=

3

2

…

an

an-1

=

n

n-1

，
累乘得：

an

a1

=n，
∵a₁=1，
∴a_n=n．
（2）设数列数列{

an

2n

}的前n项和T_n，
则Tn=1•(

1

2

)1+2•(

1

2

)2+3•(

1

2

)3+…+(n-1)(

1

2

)n-1+n•(

1

2

)n，

1

2

Tn=1•(

1

2

)2+2•(

1

2

)3+3•(

1

2

)4+…+(n-1)(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1，
两式相减得：

1

2

Tn=(

1

2

)1+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1=

1 2 •[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-n•(

1

2

)n+1=1-(1+

n

2

)(

1

2

)n，
∴Tn=2-(n+2)(

1

2

)n．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．