Question

8．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=4，CB=2，AA₁=2，∠ACB=60°，E、F分别是A₁C₁，BC的中点．
（1）证明：AB⊥平面BB₁C₁C；
（2）设P是BE的中点，求三棱锥P-B₁C₁F的体积．

Answer 1

分析 （1）用勾股定理证明AB⊥BC，由直棱锥的性质可得AB⊥BB₁ ，即可证明AB⊥面BB₁C₁C；
（2）在棱AC上取中点G，在BG上取中点O，则PO∥BB₁，过O作OH∥AB交BC与H，则OH为棱锥的高，求出OH的值和△B₁C₁F的面积，代入体积公式进行运算即可得答案．

解答 （1）证明：在△ABC中，∵AC=4，CB=2，∠ACB=60°，∴AB=2$\sqrt{3}$，
∴AB²+BC²=AC²，∴AB⊥BC．   
由已知AB⊥BB₁，∴AB⊥面BB₁C₁C；
（2）解：在棱AC上取中点G，连接EG、BG，在BG上取中点O，连接PO，则PO∥BB₁，
∴点P到面BB₁C₁C的距离等于点O到平面BB₁C₁C的距离．
过O作OH∥AB交BC与H，则OH⊥平面BB₁C₁C，在等边△BCG中，可知CO⊥BG，
∴BO=1，在Rt△BOC中，可得OH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴${V}_{P-{B}_{1}{C}_{1}F}=\frac{1}{3}{S}_{{B}_{1}{C}_{1}F}•OH$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，求棱锥的体积，作出棱锥的高OH是解题的难点和关键，是中档题．