Question

8．知曲线C的极坐标方程为3ρsinθ+2ρcosθ=2，曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=1+3cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.（α$为参数）．
（1）求曲线C，C₁的普通方程；
（2）若点M在曲线C₁上运动，试求出M到曲线C的距离的范围．

Answer 1

分析 （1）消去参数，得到普通方程，利用极坐标与直角坐标互化方法得到直角坐标方程；
（2）设点M（1+3cosα，2sinα），由点到直线的距离公式得M到曲线C的距离的范围．

解答 解：（1）曲线C：2x+3y-2=0，曲线C₁的普通方程是：${C_1}：\frac{{{{（{x-1}）}^2}}}{9}+\frac{y^2}{4}=1$．
（2）C：2x+3y-2=0，设点M（1+3cosα，2sinα），由点到直线的距离公式得$d=\frac{{|{2+6cosα+6sinα-2}|}}{{\sqrt{13}}}=\frac{{6\sqrt{2}}}{{\sqrt{13}}}|{cos（{α-\frac{π}{4}}）}|=\frac{{6\sqrt{26}}}{13}|{cos（{α-\frac{π}{4}}）}|$
∴$0≤|{cos（{α-\frac{π}{4}}）}|≤1$时，∴$0≤d≤\frac{{6\sqrt{26}}}{13}$．

点评 本题考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化，考查点到直线距离公式，属于中档题．