Question

6．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，CD⊥BD，PB⊥平面ABCD，PB=AB=AD=3，点E在线段PA上，且满足$\frac{PE}{EA}$=λ．
（1）若PC∥平面BDE，求实数λ的值，
（2）在（1）的条件下，求三棱锥B-EDC的体积．

Answer 1

分析 （1）连结AC交BD于F，连结EF，由线面平行的性质得PC∥EF，故而$\frac{PE}{EA}=\frac{FC}{FA}$，由于底面为直角梯形，AB=AD，BD⊥CD可得△BCD是等腰直角三角形，从而求出BC，于是$\frac{FC}{FA}=\frac{BC}{AD}$；
（2）求出E到底面的距离和△BCD的面积即可求出棱锥的体积．

解答 解：（1）连结AC交BD于F，连结EF，
∵PC∥平面BDE，PC?平面APC，平面APC∩平面BDE=EF，
∴PC∥EF，∴$\frac{PE}{EA}=\frac{FC}{FA}$．
∵四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，CD⊥BD，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∵AB=AD=3，∴BD=3$\sqrt{2}$，∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠DBC=45°，又∵BD⊥CD，
∴△BCD是等腰直角三角形，∴BC=$\sqrt{2}$BD=6．
∵AD∥BC，∴△ADF∽△CFB，
∴$\frac{FC}{FA}=\frac{BC}{AD}$=$\frac{6}{3}$=2．
∴λ=2．
（2）∵$\frac{PE}{EA}=2$，PB⊥平面ABCD，
∴E到底面ABCD的距离h=$\frac{1}{3}$PB=1．
∴三棱锥B-EDC的体积V=V_棱锥E-BCD=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×BD×CD×h=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×3\sqrt{2}×1$=3．

点评 本题考查了线面平行的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．