Question

3．已知函数f（x）=|x+2|+|x+m|（m＜2），若f（x）的最小值为1．
（1）试求实数m的值；
（2）求证：log₂（2^a+2^b）-m≥$\frac{a+b}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值不等式，结合f（x）的最小值为1．求实数m的值；
（2）利用基本不等式，即可证明结论．

解答 解：（1）f（x）=|x+2|+|x+m|≥|2-m|，
当且仅当（x+2）（x-m）≤0时取等号…（2分）
所以|2-m|=1，…（3分）
因为m＜2，
所以解得 m=1…（4分）
证明：（2）∵2^a＞0，2^b＞0，
∴2^a+2^b≥$2\sqrt{{2}^{a+b}}$，
∴log₂（2^a+2^b）-m≥log₂（$2\sqrt{{2}^{a+b}}$）-1=$\frac{a+b}{2}$．…（5分）

点评 本题主要考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想和转化思想的应用，属于中档题．