Question

若集合A⊆X，X为全集，则称函数f_A（x）=

1，x∈A 0，x∉A

为A的特征函数．记C_xA=

.

A

那么，对A，B⊆X，下列命题不正确的是（　　）

• A、A⊆B⇒f_A（x）≤f_B（x），?x∈X
• B、f

  .

  A

  （x）=1-f_A（x），?x∈X
• C、f_A∩B（x）=f_A（x）f_B（x），?x∈X
• D、f_A∪B（x）=f_A（x）+f_B（x），?x∈X

Answer 1

考点：函数的表示方法,函数的概念及其构成要素

专题：函数的性质及应用

分析：A．由于A⊆B，?x∈A，可得x∈B，f_A（x）=1=f_B（x），即可判断出；
B．?x∈A，f_A（x）=1，则f

.

A

(x)=0，?x∈

.

A

，同样得出；
C．?x∈A∩B，则x∈A，且x∈B，f_A（x）=f_B（x）=1；
D．当x∈A∩B时x∈A∪B，则f_A（x）=1=f_B（x），f_A∪B（x）=1，即可得出．

解答： 解：A．∵A⊆B，∴?x∈A，则x∈B，∴f_A（x）=1=f_B（x），∴f_A（x）≤f_B（x）；
B．∵?x∈A，f_A（x）=1，则f

.

A

(x)=0，?x∈

.

A

，同样得出，∴f

.

A

(x)=1-f_A（x）；
C．?x∈A∩B，则x∈A，且x∈B，∴f_A（x）=f_B（x）=1，∴f_A∩B（x）=f_A（x）•f_B（x）；
D．当x∈A∩B时x∈A∪B，则f_A（x）=1=f_B（x），f_A∪B（x）=1，则f_A（x）+f_B（x）=2≠f_A∪B（x）．
综上可得：只有D不正确．
故选：D．

点评：本题考查了新定义特征函数、集合之间的关系及其运算、元素与集合之间的关系，考查了推理能力，属于难题．