题目内容
已知函数f（x）=2cos（x+
）[sin（x+
）-
cos（x+
）]．
（1）求f（x）的值域和最小正周期；
（2）若对任意x∈[0，
]，使得m[f（x）+
]+2=0恒成立，求实数m的取值范围．
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
（1）求f（x）的值域和最小正周期；
（2）若对任意x∈[0，
| π |
| 6 |
| 3 |
考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）根据二倍角公式和和差角公式（辅助角公式），化简函数解析式为正弦型函数的形式，进而结合ω=2，可得f（x）的最小正周期；由A，B的值，可得f（x）的值域；
（2）若对任意x∈[0，
]，使得m[f（x）+
]+2=0恒成立，f（x）+
=-
，进而可得实数m的取值范围．
（2）若对任意x∈[0，
| π |
| 6 |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
| m |
解答：
解：（1）∵f（x）=2cos（x+
）sin（x+
）-2
cos2（x+
）
=sin（2x+
）-
cos（2x+
）-
=2sin（2x+
-
）-
=2sin（2x+
）-
∵A=2，B=-
，
故f（x）的值域为[-2-
，2-
]，
∵ω=2，
故f（x）的最小正周期为π；
（2）当x∈[0，
]时，2x+
∈[
，
]，
故sin（2x+
）∈[
，1]，
此时f（x）+
=2sin（2x+
）∈[
，2]，
由m[f（x）+
]+2=0恒成立得：m≠0，
∴f（x）+
=-
，
即-
∈[
，2]，
解得：m∈[-
，-1]，
故实数m的取值范围为：[-
，-1]
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
=sin（2x+
| 2π |
| 3 |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 3 |
=2sin（2x+
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
=2sin（2x+
| π |
| 3 |
| 3 |
∵A=2，B=-
| 3 |
故f（x）的值域为[-2-
| 3 |
| 3 |
∵ω=2，
故f（x）的最小正周期为π；
（2）当x∈[0，
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
故sin（2x+
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
此时f（x）+
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
由m[f（x）+
| 3 |
∴f（x）+
| 3 |
| 2 |
| m |
即-
| 2 |
| m |
| 3 |
解得：m∈[-
2
| ||
| 3 |
故实数m的取值范围为：[-
2
| ||
| 3 |
点评：本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换，三角函数的周期性及单调性，熟练掌握三角函数的图象和性质是解答的关键．
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