Question

8．已知$\frac{1+tan（θ+720°）}{1-tan（θ-360°）}$=3+2$\sqrt{2}$，求：[cos²（π-θ）+sin（π+θ）•cos（π-θ）+2sin²（θ-π）]•$\frac{1}{co{s}^{2}（-θ-2π）}$的值．

Answer 1

分析 由已知等式求得tanθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，再把要求的式子利用诱导公式化为1+tan θ+2tan² θ，运算求得结果．

解答 解：由$\frac{1+tan（θ+720°）}{1-tan（θ-360°）}$=3+2$\sqrt{2}$，
可得（4+2$\sqrt{2}$）tan θ=2+2$\sqrt{2}$，
所以tan θ=$\frac{2+2\sqrt{2}}{4+2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故[cos²（π-θ）+sin（π+θ）•cos（π-θ）+2sin²（θ-π）]•$\frac{1}{co{s}^{2}（-θ-2π）}$
=[cos² θ+sin θcos θ+2sin² θ]•$\frac{1}{co{s}^{2}θ}$ 
=1+tan θ+2tan² θ
=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$+1
=2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，求得tanθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$是解题的关键，属于中档题．