Question

20．若函数f（x）=|sinx+$\frac{2}{3+sinx}$+t|（x，t∈R），对于任意的t∈R均存在x₀使得f（x₀）≥m，则m的最大值是（　　）

• A． $\frac{3}{4}$
• B． 2$\sqrt{2}$-3
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 0

Answer 1

分析 化简sinx+$\frac{2}{3+sinx}$=sinx+3+$\frac{2}{3+sinx}$-3，可得0≤sinx+3+$\frac{2}{3+sinx}$-3≤$\frac{3}{2}$，从而求得f（x）的最小值为0，得到使f（x₀）≥m成立的m的最大值．

解答 解：∵sinx+$\frac{2}{3+sinx}$=sinx+3+$\frac{2}{3+sinx}$-3，
∵-1≤sinx≤1，
∴2≤sinx+3≤4，
∴3≤sinx+3+$\frac{2}{3+sinx}$≤$\frac{9}{2}$，
∴0≤sinx+3+$\frac{2}{3+sinx}$-3≤$\frac{3}{2}$，
∴对任意的t∈R，f（x）的最小值为0．
∴使f（x₀）≥m成立的m的最大值是0．
故选：D．

点评 本题考查了三角函数的单调性及分段函数的应用，同时考查了正弦函数的性质及整体思想与分类讨论的思想，是中档题．