Question

已知焦点在x轴上的椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

12

=1和双曲线C₂：

x2

m2

-

y2

n2

=1的离心率互为倒数，它们在第一象限的交点坐标为（

4 10

5

，

6 5

5

），则双曲线C₂的标准方程为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：把点（

4 10

5

，

6 5

5

），代入椭圆方程即可得出a，进而得到椭圆的离心率和双曲线的离心率，再利用双曲线的离心率计算公式和把已知点的坐标代入双曲线的方程即可得出m²及n²．

解答： 解：（1）把点（

4 10

5

，

6 5

5

），代入椭圆

x2

a2

+

y2

12

=1，解得a²=16，a=4．
∴椭圆C₁，c²=a²-b²=4，即c=2．
∴椭圆C的离心率为e₁=

1

2

，∴双曲线C₂的离心率为e₂=2，
由题意可得

1+ n2 m2 =2 ( 4 10 5 )2 m2 - ( 6 5 5 )2 n2 =1

，解得

m2=4 n2=12

，
∴双曲线C₂为：

x2

4

-

y2

12

=1．
故答案为：

x2

4

-

y2

12

=1．

点评：本题综合考查了椭圆、双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力和计算能力．