Question

已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）值域为[-1，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（t，t+3），则实数c的值为

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：根据函数的最小值求得a和b的一个关系式，根据x的不等式f（x）＜c的解集，转化为二次方程的问题，利用韦达定理表示出|t+3-t|获得，a，b和c的关系式，最后联立方程求得c．

解答： 解：依题意知f（-

a

2

）=

a2

4

-

a2

2

+b=-1，
∴4（b+1）=a²，①
由f（x）＜c，得x²+ax+b-c＜0，解集为（t，t+3），
∴t和t+3为方程x²+ax+b-c=0的两根，
∴|t+3-t|=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

a2-4(b-c)

=3，②
①②联立求得c=

5

4

，
故答案为：

5

4

．

点评：本题主要考查了二次函数的性质，一元二次不等式的解法．解决一元二次不等式问题常与二次方程和二次函数相联系．