Question

已知幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），令a_n=f（n+1）+f（n），n∈N⁺，记数列{

1

an

}的前n项和为S_n，则S_n=10时，n的值是

 

．

Answer 1

考点：幂函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：幂函数y=f（x）=x^α的图象过点（4，2），可得f(x)=

x

．由于a_n=f（n+1）+f（n）=

n+1

+

n

，n∈N⁺，可得

1

an

=

n+1

-

n

．利用“累加求和”可得S_n=

n+1

-1．令

n+1

-1=10，解出即可．

解答： 解：∵幂函数y=f（x）=x^α的图象过点（4，2），
∴2=4^α，解得α=

1

2

．
∴f(x)=

x

．
∵a_n=f（n+1）+f（n）=

n+1

+

n

，n∈N⁺，
∴

1

an

=

1

n+1 + n

=

n+1

-

n

．
∴数列{

1

an

}的前n项和为S_n=(

2

-1)+(

3

-

2

)+…+(

n+1

-

n

)=

n+1

-1．
则S_n=10时，令

n+1

-1=10，
解得n=120．
故答案为：120．

点评：本题考查了幂函数的性质、“累加求和”方法、数列的通项公式、分子有理化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．