Question

已知a_n+1=na_n+n-1，a₁=1，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：由a_n+1=na_n+n-1得1+a_n+1=n（a_n+1），利用累积法进行求解即可．

解答： 解：∵a_n+1=na_n+n-1，
∴1+a_n+1=n（a_n+1），即

1+an+1

1+an

=n，
则

1+a2

1+a1

=1，

1+a3

1+a2

=2，

1+a4

1+a3

=3，…

1+an

1+an-1

=n-1，
等式两边同时相乘得

1+a2

1+a1

•

1+a3

1+a2

•

1+a4

1+a3

…，

1+an

1+an-1

=1×2×3×…（n-1），
即

1+an

2

=(n-1)！，
则1+a_n=2•（n-1）!，
即a_n=2•（n-1）!-1．
故数列{a_n}的通项公式a_n=2•（n-1）!．

点评：本题主要考查数列通项公式的求解，根据数列的递推关系，利用累积法是解决本题的关键．