Question

18．设函数f（x）=log₂x+ax+b（a＞0），若存在实数b，使得对任意的x∈[t，t+2]（t＞0）都有|f（x）|≤1+a，则t的最小值是（　　）

• A． 2
• B． 1
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 由对数函数的单调性可得f（x）在（0，+∞）递增，由题意可得-1-a≤f（x）≤1+a恒成立，即有-1-a≤f（x）_min=f（t）=log₂t+at+b，1+a≥f（x）_max=log₂（t+2）+a（t+2）+b，运用不等式的性质，可得t的不等式，即可得到t的最小值．

解答 解：函数f（x）=log₂x+ax+b（a＞0），
由y=log₂x，y=ax+b在（0，+∞）递增，
可得f（x）在（0，+∞）递增，
由对任意的x∈[t，t+2]（t＞0）都有|f（x）|≤1+a，
可得-1-a≤f（x）≤1+a恒成立，
即有-1-a≤f（x）_min=f（t）=log₂t+at+b，①
1+a≥f（x）_max=log₂（t+2）+a（t+2）+b，
即为-1-a≤-log₂（t+2）-a（t+2）-b，②
①+②可得-2-2a≤log₂t+at+b-log₂（t+2）-a（t+2）-b，
化为log₂$\frac{t}{t+2}$≥-2，
解得$\frac{t}{t+2}$≥$\frac{1}{4}$，
解得t≥$\frac{2}{3}$，
则t的最小值为$\frac{2}{3}$，
故选：D．

点评 本题考查函数的单调性的运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，考查运算能力和推理能力，属于中档题．