Question

9．数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n（n+1）（n∈N^*）． 
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足：${a_n}=\frac{b_1}{2+1}+\frac{b_2}{{{2^2}+1}}+\frac{b_3}{{{2^3}+1}}+…+\frac{b_n}{{{2^n}+1}}$，求数列{b_n}的通项公式；
（3）令${c_n}=\frac{{{a_n}{b_n}}}{4}$（n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由数列的递推式：当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得到所求通项公式；
（2）将n换为n+1，两式相减，结合（1）即可得到所求通项；
（3）求出c_n=$\frac{{a}_{n}{b}_{n}}{4}$=n•2ⁿ+n，运用数列的求和方法：分组求和和错位相减法，再由等差数列和等比数列的求和公式，即可得到所求和．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n（n+1）-（n-1）n=2n，知a₁=2满足该式，
则数列{a_n}的通项公式为a_n=2n；
（2）${a_n}=\frac{b_1}{2+1}+\frac{b_2}{{{2^2}+1}}+\frac{b_3}{{{2^3}+1}}+…+\frac{b_n}{{{2^n}+1}}$①，
${a_{n+1}}=\frac{b_1}{2+1}+\frac{b_2}{{{2^2}+1}}+\frac{b_3}{{{2^3}+1}}+…+\frac{b_n}{{{2^n}+1}}+\frac{{{b_{n+1}}}}{{{2^{n+1}}+1}}$②，
②-①得：$\frac{{{b_{n+1}}}}{{{2^{n+1}}+1}}={a_{n+1}}-{a_n}=2$即${b_{n+1}}=2（{{2^{n+1}}+1}）$，
故${b_n}=2（{{2^n}+1}）$（n∈N^*）；
（3）因为c_n=$\frac{{a}_{n}{b}_{n}}{4}$=n•2ⁿ+n，
所以前n项和T_n=c₁+c₂+…+c_n=（1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ）+（1+2+3+…+n），
令${H_n}=1×2+2×{2^2}+3×{2^3}+…+n×{2^n}$③
$2{H_n}=1×{2^2}+2×{2^3}+3×{2^4}+…+n×{2^{n+1}}$④
③-④得，$-{H_n}=（2+{2^2}+{2^3}+…+{2^n}-n×{2^{n+1}}）=\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}-n×{2^{n+1}}$，
则${H_n}=（n-1）{2^{n+1}}+2$．
∴数列{c_n}的前n项和${T_n}=（n-1）{2^{n+1}}+2+\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的求和方法：分组求和和错位相减法，同时考查等差数列和等比数列的求和公式的运用，考查运算能力，属于中档题．