Question

设正实数x，y满足xy=

x-4y

x+y

，则实数y的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：正实数x，y满足xy=

x-4y

x+y

，化为yx²+（y²-1）x+4y=0，由于关于x的方程有正实数根，可知△≥0．又x₁x₂=

4y

y

=4＞0，可知x₁与x₂同号，必有x1+x2=

1-y2

y

＞0，解得0＜y＜1．再利用△≥0．解出即可．

解答： 解：正实数x，y满足xy=

x-4y

x+y

，
化为yx²+（y²-1）x+4y=0，
∵关于x的方程有正实数根，∴△≥0．
又x₁x₂=

4y

y

=4＞0，∴x₁与x₂同号，
∴x1+x2=

1-y2

y

＞0，解得0＜y＜1．
由△≥0．
∴（y²-1）²-16y²≥0，
∴（y²+4y-1）（y²-4y-1）≥0．
∵0＜y＜1，∴y²-4y-1＜0，
∴y²+4y-1≤0，
解得0＜y≤

5

-2．
∴实数y的取值范围是（0，

5

-2]
故答案为：（0，

5

-2]

点评：本题考查了一元二次方程有正实数根与判别式的关系、一元二次不等式的解法，考查了转化思想，考查了推理能力和计算能力，属于难题．