Question

20．已知函数f（x）=$\sqrt{2}sinωxcosωx+\sqrt{2}{cos^2}ωx-\frac{{\sqrt{2}}}{2}（{ω＞0}）$，若函数f（x）在$（{\frac{π}{2}，π}）$上单调递减，则实数ω的取值范围是（　　）

• A． $[{\frac{1}{4}，\frac{5}{8}}]$
• B． $[{\frac{1}{2}，\frac{5}{4}}]$
• C． $（{0，\frac{1}{2}}]$
• D． $（{0，\frac{1}{4}}]$

Answer 1

分析 化函数f（x）为正弦型函数，由f（x）在$（{\frac{π}{2}，π}）$上单调递减，利用正弦函数的单调性列出不等式组，求出ω的取值范围．

解答 解：函数f（x）=$\sqrt{2}sinωxcosωx+\sqrt{2}{cos^2}ωx-\frac{{\sqrt{2}}}{2}（{ω＞0}）$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2ωx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（1+cos2ωx）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2ωx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2ωx
=sin（2ωx+$\frac{π}{4}$），
由函数f（x）在$（{\frac{π}{2}，π}）$上单调递减，
且2ωx+$\frac{π}{4}$∈（ωπ+$\frac{π}{4}$，2ωπ+$\frac{π}{4}$），
得$\left\{\begin{array}{l}{ωπ+\frac{π}{4}≥\frac{π}{2}}\\{2ωπ+\frac{π}{4}≤\frac{3π}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{4}$≤ω≤$\frac{5}{8}$，
∴实数ω的取值范围是[$\frac{1}{4}$，$\frac{5}{8}$]．
故选：A．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质以及三角恒等变换应用问题，是基础题．