Question

9．已知函数$f（x）=lnx-\frac{a（x-1）}{x+1}，a∈R$．
（1）若a=2，求证：f（x）在（0，+∞）上为增函数；
（2）若不等式f（x）≥0的解集为[1，+∞），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）a=2时，x＞0，求出f′（x）=$\frac{（x-1）^{2}}{x（x+1）^{2}}$≥0，由此能证明f（x）在（0，+∞）上为增函数．
（Ⅱ）求出${f}^{'}（x）=\frac{{x}^{2}+2（1-a）x+1}{x（x+1）^{2}}$，x＞0，由此根据a≤1，1＜a≤2，a＞2分类讨论，利用导数性质能求出实数a的取值范围．

解答 证明：（1）∵a=2时，f（x）=lnx-$\frac{2x-2}{x+1}$，
∴x＞0，${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}-\frac{4}{（x+1）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-2x+1}{x（x+1）^{2}}$=$\frac{（x-1）^{2}}{x（x+1）^{2}}$≥0，
当且仅当x=1时，f′（x）=0，
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．
解：（Ⅱ）∵函数$f（x）=lnx-\frac{a（x-1）}{x+1}，a∈R$，
∴${f}^{'}（x）=\frac{{x}^{2}+2（1-a）x+1}{x（x+1）^{2}}$，x＞0，
注意到f（1）=0，
①当a≤1时，则f′（x）=$\frac{{x}^{2}+2（1-a）x+1}{x（x+1）^{2}}$＞0，∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，适合题意；
②当1＜a≤2时，则△=4（a²-2a）≤0，则$f'（x）=\frac{{{x^2}+2（1-a）x+1}}{{x{{（x+1）}^2}}}≥0$，
当且仅当a=2，x=1时，取等号，则f（x）在（0，+∞）上为增函数，适合题意；
③当a＞2时，则△=4（a²-2a）＞0，
则f′（x）=$\frac{{x}^{2}+2（1-a）x+1}{x（x+1）^{2}}$=0有两个实根${x}_{1}=a-1-\sqrt{{a}^{2}-2a}$，${x}_{2}=a-1+\sqrt{{a}^{2}-2a}$，
且0＜x₁＜a-1＜x₂，（a-1＞1），
则f（x）在（0，x₁]，[x₂，+∞）上为增函数，在（x₁，x₂）上是减函数，
1∈（x₁，x₂），f（1）=0，不适合题意．
综上：实数a的取值范围是（-∞，-2]．

点评 本题考查函数为增函数的证明，考查实数的取值范围的求法，考查导数的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想、分类讨论思想，是中档题．