Question

15．已知函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+{a^2}{x^2}+ax+b$，当x=-1时函数f（x）的极值为$-\frac{7}{12}$，则f（1）=$\frac{25}{12}$或$\frac{1}{12}$．

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，根据当x=-1时函数f（x）的极值为-$\frac{7}{12}$，f′（-1）=0，f（-1）=-$\frac{7}{12}$，求出a，b的值，代入原函数解析式后课求f（1）的值

解答 解：∵$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+{a^2}{x^2}+ax+b$，
∴f′（x）=x²+2a²x+a，
∵当x=-1时函数f（x）的极值为$-\frac{7}{12}$，
∴f′（-1）=1-2a²+a=0，f（-1）=-$\frac{1}{3}$+a²-a+b=-$\frac{7}{12}$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=0}\end{array}\right.$，
∴f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²+x-$\frac{1}{4}$，或f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x，
∴f（1）=$\frac{1}{3}$+1+1-$\frac{1}{4}$=$\frac{25}{12}$，或f（1）=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{12}$，
故答案为：$\frac{25}{12}$或$\frac{1}{12}$．

点评 本题主要考查函数在某点取得极值的条件，需要注意的是极值点处的导数等于0，但导数为0的点不一定是极值点，属基础题．