Question

12．对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），给出定义：设f'（x）是函数y=f（x）的导数，f''（x）是f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+2x+\frac{1}{12}$，请根据这一发现，
（1）求三次函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+2x+\frac{1}{12}$的对称中心；
（2）计算$f（{\frac{1}{2017}}）+f（{\frac{2}{2017}}）+f（{\frac{3}{2017}}）+…+f（{\frac{2016}{2017}}）$．

Answer 1

分析 （1）先求出f′（x）=x²-x+2，f''（x）=2x-1，由f''（x）=2x-1=0，解得x=$\frac{1}{2}$，再由f（$\frac{1}{2}$）=1，能求出$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+2x+\frac{1}{12}$的对称中心．
（2）由$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+2x+\frac{1}{12}$的对称中心为（$\frac{1}{2}，1$），得到f（x）+f（1-x）=2，由此能求出$f（{\frac{1}{2017}}）+f（{\frac{2}{2017}}）+f（{\frac{3}{2017}}）+…+f（{\frac{2016}{2017}}）$．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+2x+\frac{1}{12}$，
∴f′（x）=x²-x+2，f''（x）=2x-1，
由f''（x）=2x-1=0，解得x=$\frac{1}{2}$，
∵f（$\frac{1}{2}$）=1，∴由题设知$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+2x+\frac{1}{12}$的对称中心为（$\frac{1}{2}，1$）．
（2）∵$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+2x+\frac{1}{12}$的对称中心为（$\frac{1}{2}，1$），
∴$f（\frac{1}{2}+x）+f（\frac{1}{2}-x）=2$，即f（x）+f（1-x）=2，
∴$f（{\frac{1}{2017}}）+f（{\frac{2}{2017}}）+f（{\frac{3}{2017}}）+…+f（{\frac{2016}{2017}}）$=$\frac{1}{2}×$2×2016=2016．

点评 本题考查函数的对称中心的求法，考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．