题目内容
在△ABC中，∠B=
．
（Ⅰ）求sinA+sinC的取值范围；
（Ⅱ）若∠A为锐角，求f（A）=sinA+cosA+2sinAcosA的最大值并求出此时角A的大小．
| π |
| 3 |
（Ⅰ）求sinA+sinC的取值范围；
（Ⅱ）若∠A为锐角，求f（A）=sinA+cosA+2sinAcosA的最大值并求出此时角A的大小．
考点：三角函数的最值
专题：三角函数的求值
分析：（Ⅰ）由题意可得C=
-A，化简sinA+sinC为
sin（A+
）．根据
＜A+
＜
，利用正弦函数的定义域和值域求得sinA+sinC的取值范围．
（Ⅱ）令t=sinA+cosA=
sin(A+
)，由A∈(0，
)，可得t∈(1，
]，y=t2+t-1，再利用二次函数的性质求得y的最大值以及此时的t值，可得y的最大值以及此时角A的值
| 2π |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
（Ⅱ）令t=sinA+cosA=
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| 2 |
解答：
解：（Ⅰ）由题意可得C=
-A 且0＜A＜
，
所以sinA+sinC=sinA+sin（
-A）=
sinA+
cosA=
sin（A+
）．
∵
＜A+
＜
，∴
＜sin（A+
）≤1，
∴sinA+sinC的取值范围（
，
]，
（Ⅱ）令t=sinA+cosA=
sin(A+
)，由A∈(0，
)得A+
∈(
，
)，
所以t∈(1，
]，则2sinAcosA=t2-1，于是y=t2+t-1，
所以当t=
时，ymax=1+
，此时A=
．
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
所以sinA+sinC=sinA+sin（
| 2π |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| π |
| 6 |
∵
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
∴sinA+sinC的取值范围（
| ||
| 2 |
| 3 |
（Ⅱ）令t=sinA+cosA=
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
所以t∈(1，
| 2 |
所以当t=
| 2 |
| 2 |
| π |
| 4 |
点评：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，属于基础题．
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