Question

若函数f（x）=x³-

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2

x²+bx+c在x=1时取得极值，且当x∈[-1，2]时，f（x）＜c²恒成立．
（1）求实数b的值；
（2）求实数c的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出f（x）的导数f′（x），由函数的零点以及根与系数的关系求出b的值；
（2）利用导数求出f（x）在闭区间[-1，2]上的最大值f（x）_max，令其小于c²，求出c的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-

1

2

x²+bx+c，
∴f′（x）=3x²-x+b，
∵x=1是方程3x²-x+b=0的一个根，
设另一个根是x₀，则

x0+1= 1 3 x0×1= b 3

，
∴x₀=-

2

3

，b=-2；
（2）由（1）知，f（x）=x³-

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2

x²-2x+c，
∴f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），
令f′（x）=0，解得x₁=-

2

3

，x₂=1；
列表如下：

x	[-1，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，1）	1	（1，2]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值 22 27 +c	单调递减	极小值	单调递增

由表格知，f（x）取得极大值f（-

2

3

）=

22

27

+c，
又f（2）=2+c，
∴当x=2时，函数取得最大值f（x）_max=2+c；
∴2+c＜c²，
解得c＜-1或c＞2，
∴c的取值范围是（-∞，-1）∪（2，+∞）．

点评：本题考查了利用导数求函数在闭区间上的最值问题，也考查了函数的零点以及根与系数的关系的应用问题，是综合题．