题目内容
已知a，b∈R+，且方程x2-（3a+2b-6）x+a+b-3=0的两根分别为一个椭圆和一个双曲线的离心率，则3a+b的取值范围为（ ）
| A、（0，6） |
| B、（4，+∞） |
| C、（0，5） |
| D、（5，+∞） |
考点：双曲线的简单性质
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：首先，确定所给方程的根的分布，然后根据椭圆和双曲线离心率的取值范围，画出可行域，从而确定3a+b的取值范围．
解答：
解：∵方程x2-（3a+2b-6）x+a+b-3=0的两根分别为
一个椭圆和一个双曲线的离心率，
∴方程有两个正实根，且一个根比1大，一个根比1小．
设函数f（x）=x2-（3a+2b-6）x+a+b-3，
则
，
∴
，且a，b∈R+，
对应的可行域如下图所示：
设z=3a+b，
显然，过点A时，此时z有最小值4，
故z∈（4，+∞）．
故选：B．
解：∵方程x2-（3a+2b-6）x+a+b-3=0的两根分别为一个椭圆和一个双曲线的离心率，
∴方程有两个正实根，且一个根比1大，一个根比1小．
设函数f（x）=x2-（3a+2b-6）x+a+b-3，
则
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∴
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对应的可行域如下图所示：
设z=3a+b，
显然，过点A时，此时z有最小值4，
故z∈（4，+∞）．
故选：B．
点评：本题重点考查了方程的根分布、椭圆的离心率及其性质、双曲线的离心率及其性质、线性规划等知识，属于中档题，解题关键是准确理解线性规划思想在解题中的灵活运用．
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如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PDC是边长为4的正三角形且侧面PDC⊥面ABCD，E为PC的中点．