Question

11．如图，有一直径为8的半圆形，半圆周上有一点C满足$∠ABC=\frac{π}{6}$，动点E，F在直径AB上，满足$∠ECF=\frac{π}{6}$，
（1）若$CE=\sqrt{13}$，求AE的长；
（2）设∠ACE=α，求三角形△ECF面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用余弦定理，即可求AE的长；
（2）设∠ACE=α，求出CF，CE，利用三角形面积公式可求S_△CEF，求出最大值

解答 解：（1）由已知得△ABC为直角三角形，因为AB=8，∠ABC=$\frac{π}{6}$，
所以∠BAC=$\frac{π}{3}$，AC=4，
在△ACE中，由余弦定理：CE²=AC²+AE²-2AC•AEcosA，且CE=$\sqrt{13}$，
所以13=16+AE²-4AE，
解得AE=1或AE=3，
（2）因为∠ACB=$\frac{π}{2}$，∠ECF=$\frac{π}{6}$，
所以∠ACE=α∈[0，$\frac{π}{3}$]，
所以∠AFC=π-∠A-∠ACF=$\frac{π}{2}$-α
在△ACF中由正弦定理得：$\frac{CF}{sinA}$=$\frac{AC}{sin∠CFA}$，
所以CF=$\frac{2\sqrt{3}}{cosα}$，
在△ACE中，由正弦定理得：$\frac{CE}{sinA}$=$\frac{AC}{sin∠AEC}$，
所以CE=$\frac{2\sqrt{3}}{sin（\frac{π}{3}+α）}$，
由于S_△ECF=$\frac{1}{2}$CE•CF•sin∠ECF=$\frac{12}{sin（\frac{π}{3}+2α）+\sqrt{3}}$
因为α∈[0，$\frac{π}{3}$]，所以0≤sin（2α+$\frac{π}{3}$）≤1，
所以α=$\frac{π}{3}$时，S_△CEF取最大值为4$\sqrt{3}$

点评 本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的运用，考查三角形面积的计算，考查了正弦函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．