Question

已知函数f（x+1）=

2x+1

x+2

．
（Ⅰ）求f（2），f（x）；
（Ⅱ）证明：函数f（x）在[1，17]上为增函数；
（Ⅲ）求函数f（x）在[1，17]最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（I）令x=1，即可得到f（2），运用换元法，令t=x+1，则x=t-1，代入即可得到函数的解析式；
（Ⅱ）运用函数的单调性的定义，即可得证，注意作差、变形、定符号等步骤；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，f（x）在[1，17]上为增函数，即可得到最值．

解答： 解：（I）由于函数f（x+1）=

2x+1

x+2

，
则f（2）=f（1+1）=1，
令t=x+1，则x=t-1，
则f（t）=

2t-1

t+1

即f（x）=

2x-1

x+1

；
（Ⅱ）证明：任取1≤m＜n≤17，
f（m）-f（n）=

2m-1

m+1

-

2n-1

n+1

=

3(m-n)

(m+1)(n+1)

，
又1≤m＜n，则m-n＜0，（m+1）（n+1）＞0，
则

3(m-n)

(m+1)(n+1)

＜0，即f（m）＜f（n），
故f（x）在[1，17]上为增函数；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，f（x）在[1，17]上为增函数，
则当x=1时，f（x）有最小值为

1

2

，
当x=17时，f（x）有最大值

11

6

．

点评：本题考查函数的解析式的求法和函数的性质及运用，考查运算能力，属于基础题．