Question

下列命题正确的是

 

（写序号）
①命题“?x₀∈R，x₀²+1＞3x₀”的否定是“?x∈R，x²+1≤3x”：
②函数f（x）=cos²ax-sin²ax的最小正周期为“π”是“a=1”的必要不充分条件；
③x²+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立?（x²+2x）_min≥（ax）_max在x∈[1，2]上恒成立；
④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．

Answer 1

考点：特称命题,充要条件

专题：简易逻辑

分析：对于①：根据特称命题的否定方法判断；
对于②：先将f（x）=cos²ax-sin²ax化成：f（x）=cos2ax，再结合周期计算公式进行判断；
对于③：x²+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立，前后是同一个变量，因此应作差后，再将差函数的最值求出来即可；
对于④：由正弦定理知

a

sinA

=

b

sinB

，由sinA＞sinB，知a＞b，所以A＞B，反之亦然，故可得结论．

解答： 解：对于①：先将量词变为?x∈R，结论x₀²+1＞3x₀变成x²+1≤3x，可见①为真命题；
对于②：f（x）=cos2ax，其最小正周期的计算方法是

2π

|ω|

，故本题最小正周期为π时，a=±1，此时不一定有a=1成立，
而反之，a=1必有a=≠±1成立，故前者是后者的必要而不充分条件，故②为真命题．
对于③：x²+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立?x²+2x-ax≥0在[1，2]上恒成立，所以③为假命题；
对于④：由正弦定理知

a

sinA

=

b

sinB

=2R，
∵sinA＞sinB，
∴a＞b，
∴A＞B．
反之，∵A＞B，∴a＞b，
∵a=2RsinA，b=2RsinB，∴sinA＞sinB，故④是真命题．
故答案为：①②④．

点评：本题中的②是容易出错的，学生往往记成T=

2π

ω

，而忽视了绝对值，对于第四个，属于常考的易错题，需引起重视．