Question

已知f（x）=x²-2ax+2．
（Ⅰ）若不等式f（x）＞0在区间[2，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）解关于x的不等式f（x）≤0．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）问题转化为2ax＜x²+2在区间[2，+∞）上恒成立令g（x）=

x

2

+

1

x

，得出g（x）的最小值是

3

2

，从而求出a的范围；
（Ⅱ）先求出△=4a²-8，再分别讨论△＜0，△=0，△＞0时的情况，从而求出不等式的解集．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=x²-2ax+2＞0 在区间[2，+∞）上恒成立，
即2ax＜x²+2，
∵x≥2，∴a＜

x

2

+

1

x

，
令g（x）=

x

2

+

1

x

，∴g（x）=

x2-2

2x2

，
∵x≥2，∴g′（x）＞0，
所以g（x）在[2，+∞）上是增函数，
所以g（x）的最小值是

3

2

．
则实数a的取值范围是（-∞，

3

2

）．
（Ⅱ）∵△=4a²-8，
∴△＜0，即-

2

＜a＜

2

时，原不等式解集为∅，
△=0，即a=±

2

时，原不等式对应的方程有2个不等实根，
当a=

2

时，原不等式的解集为{x|x=

2

}，
当a=-

2

时，原不等式的解集为{x|x=-

2

}，
△＞0，即a＞

2

或a＜-

2

时，
原不等式对应的方程有两个不等实根，
分别为x₁=a-

a2-2

，x₂=a+

a2-2

，且x₁＜x₂，
∴原不等式的解集为{x|a-

a2-2

≤x≤a+

a2-2

}．
综上，当-

2

＜a＜

2

时，不等式的解集为∅；
当a=

2

时，不等式的解集为{x|x=

2

}；
当a=-

2

时，不等式的解集为{x|x=-

2

}；
当a＞

2

或a＜-

2

时，不等式的解集为{x|a-

a2-2

≤x≤a+

a2-2

}．

点评：本题考查了二次函数的性质，求参数的范围，求不等式的解集，是一道中档题．