Question

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）过正六边形的四个顶点，焦点恰好是另外两个顶点，则双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用余弦定理求得AE，由双曲线的定义可得2a=AE-DE的值，由此求出e的值．

解答： 解：设正六边形ABCDEF的边长为1，中心为O，以AD所在直线为x轴，以O为原点，建立直角坐标系，则c=1，
在△AEF中，由余弦定理得AE²=AF²+EF²-2AF•EFcos120°=1+1-2（-

1

2

）=3，
∴AE=

3

，2a=AE-DE=

3

-1，
∴a=

3 -1

2

，
∴e=

c

a

=

1

3 -1 2

=

3

+1，
故答案为：

3

+1．

点评：本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，计算2a=AE-DE的值是解题的关键．