Question

1．设各项均为正数的数{a_n}的n项和S_n，满4S_n=a²_n+1-4n-1，n∈N⁺a₂，a₅，a₁₄构成等比数列．
（1）证明a₂=$\sqrt{4{a}_{1}+5}$；  
（2）求数{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）直接在数列递推式中取n=1证得答案；
（2）由已知数列递推式得到另一递推式，作差后可得{a_n}是公差d=2的等差数列，然后代入等差数列的通项公式得答案．

解答 （1）证明：当n=1时，4a₁=a²₂-5，${{a}_{2}}^{2}=4{a}_{1}+5$，
∵a_n＞0，∴${a}_{2}=\sqrt{4{a}_{1}+5}$；
（2）解：当n≥2时，4S_n-1=a²_n-4（n-1）-1，
∴$4{a}_{n}=4{S}_{n}-4{S}_{n-1}={{a}_{n+1}}^{2}-{{a}_{n}}^{2}-4$，
${{a}_{n+1}}^{2}={{a}_{n}}^{2}+4{a}_{n}+4=（{a}_{n}+2）^{2}$，
∵a_n＞0，
∴a_n+1=a_n+2．
∴当n≥2时，{a_n}是公差d=2的等差数列．
∵a₂，a₅，a₁₄构成等比数列，
∴${{a}_{5}}^{2}={a}_{2}{a}_{14}$，即$（{a}_{2}+8）^{2}={a}_{2}（{a}_{2}+24）$，解得a₂=3，
由（1）可知，$4{a}_{1}={{a}_{2}}^{2}-5=4$，
∴a₁=1．
∵a₂-a₁=3-1=2，
∴{a_n}是首项a₁=1，公差d=2的等差数列．
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．