Question

16．在直角坐标系xOy中，动点Q到定点A（0，1）与到定直线l：y=1的距离相等．
（1）求动点Q的轨迹方程；
（2）记动点Q的轨迹为曲线C，若曲线C与直线y=kx+a（a＞0）交于M，N两点，则在y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接由抛物线的定义求得抛物线的方程；
（2）设出P，M，N的坐标，联立直线y=kx+a与抛物线方程，由直线PM，PN的斜率和为0说明存在符合题意的点P（0，-a）．

解答 解：（1）由题意，动点Q的轨迹是以A为焦点，直线l为准线的抛物线，
其方程为x²=4y；
（2）存在符合题意的点．
证明如下：
设P（0，b）为符合题意的点，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
直线PM，PN的斜率分别为k₁，k₂，
将y=kx+a代入C得：x²-4kx-4a=0．
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4a，
∴${k}_{1}+{k}_{2}=\frac{{y}_{1}-b}{{x}_{1}}+\frac{{y}_{2}-b}{{x}_{2}}$=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}+（a-b）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}=\frac{k（a+b）}{a}$．
当b=-a时，有k₁+k₂=0．
则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补．
故∠OPM=∠OPN，
∴P（0，-a）符合题意．

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查了直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．