Question

8．已知函数f（x）=ln x，g（x）=$\frac{1}{2}$ax+b．
（1）若曲线f（x）与曲线g（x）在它们的公共点P（1，f（1））处具有公共切线，求g（x）的表达式；
（2）若φ（x）=$\frac{m（x-1）}{x+1}$-f（x）在[1，+∞）上是减函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的导数，得到关于a的方程，求出a的值，计算g（1）=0，求出b的值，从而求出g（x）的解析式即可；
（2）求出函数的导数，问题转化为2m-2≤x+$\frac{1}{x}$，x∈[1，+∞），根据函数的单调性求出m的范围即可．

解答 解：（1）由已知得f′（x）=$\frac{1}{x}$，所以f′（1）=1=$\frac{1}{2}$a，a=2．
又因为g（1）=0=$\frac{1}{2}$a+b，所以b=-1，所以g（x）=x-1．
（2）因为φ（x）=$\frac{m（x-1）}{x+1}$-f（x）=$\frac{m（x-1）}{x+1}$-ln x在[1，+∞）上是减函数．
所以φ′（x）$\frac{-{x}^{2}+（2m-2）（x-1）}{x（x+1）^{2}}$≤0在[1，+∞）上恒成立．
即x²-（2m-2）x+1≥0在[1，+∞）上恒成立，
则2m-2≤x+$\frac{1}{x}$，x∈[1，+∞），
因为x+$\frac{1}{x}$∈[2，+∞），所以2m-2≤2，m≤2，
故数m的取值范围是（-∞，2]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及切线方程问题，考查函数恒成立问题，是一道中档题．