Question

18．在直角坐标系xOy中，圆${C_1}：{x^2}-2x+{y^2}=0$，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C₂：ρ=2sinθ．
（1）圆C₂的直角坐标方程；
（2）圆C₁与圆C₂的位置关系．

Answer 1

分析 （1）圆C₂为ρ²=2ρsinθ，由此能求出圆C₂的直角坐标方程．
（2）由（1）知圆C₂是以C₂（0，1）为圆心，1为半径的圆，又圆${C_1}：{x^2}-2x+{y^2}=0$是以C₁（1，0）为圆心，1为半径的圆，由此能判断圆C₁与圆C₂的位置关系．

解答 解：（1）∵圆C₂：ρ=2sinθ，
∴ρ²=2ρsinθ，
∴圆C₂的直角坐标方程为x²+y²=2y，即x²+（y-1）²=1．
（2）由（1）知圆C₂是以C₂（0，1）为圆心，1为半径的圆，
又圆${C_1}：{x^2}-2x+{y^2}=0$是以C₁（1，0）为圆心，1为半径的圆，
|C₁C₂|=$\sqrt{2}$＜2，
∴圆C₁与圆C₂相交．

点评 本题考查圆的直角坐标方程的求法，考查两圆的位置关系的判断，考查极坐标、直角坐标的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，考查创新意识、应用意识，是基础题．