Question

15．已知函数f（x）=x²-（a+1）x+1（a∈R）．
（1若关于x的不等式f（x）＜0的解集是{x|m＜x＜2}，求a，m的值；
（2）设关于x的不等式f（x）≤0的解集是A，集合B={x|0≤x≤1}，若 A∩B=∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）应用一元二次不等式和方程的关系结合根与系数的关系得到关于a，m的方程组，求出a，m的值即可；
（2）问题转化为a+1＜x+$\frac{1}{x}$对于x∈（0，1]恒成立（当x=0时，1＞0恒成立）；求出a的范围即可．

解答 解：（1）∵关于x的不等式f（x）＜0的解集是{x|m＜x＜2}，
∴对应方程x²-（m+1）x+1=0的两个实数根为m、2，
由根与系数的关系，得$\left\{{\begin{array}{l}{m•2=1}\\{m+2=a+1}\end{array}}\right.$，解得a=$\frac{3}{2}$，m=$\frac{1}{2}$；
（2）∵关于x的不等式f（x）≤0的解集是 A，
集合B={x|0≤x≤1}，当 A∩B=φ时，即不等式f（x）＞0对x∈B恒成立；
即x∈[0，1]时，x²-（a+1）x+1＞0恒成立，
∴a+1＜x+$\frac{1}{x}$对于x∈（0，1]恒成立（当x=0时，1＞0恒成立）；
∵当x∈（0，1]时，$x+\frac{1}{x}≥2（当且仅当x=1时等号成立）$
∴a+1＜2，即a＜1，∴实数a的取值范围是{a|a＜1}．

点评 本题考查了二次函数与一元二次方程以及对应不等式的解法与应用问题，考查了转化思想的应用问题，是综合性题目．