Question

3．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是$\frac{2}{3}$和$\frac{3}{4}$．假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响．
（1）求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；
（2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率．

Answer 1

分析 （1）记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件A₁．由题意，射击4次相当于作4次独立重复试验．由此利用对立事件概率计算公式能求出甲连续射击4次至少有一次未击中目标的概率．
（2）记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A₂，“乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件B₂，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式，能求出两人各射击4次甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率．

解答 解：（1）记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件A₁．
由题意，射击4次相当于作4次独立重复试验．
故P（A₁）=1-P（$\overline{{A}_{1}}$）=1-（$\frac{2}{3}$）⁴=$\frac{65}{81}$，
所以甲连续射击4次至少有一次未击中目标的概率为$\frac{65}{81}$．-------------（6分）
（2）记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A₂，“乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件B₂，
则P（A₂）=${C}_{4}^{2}$×（$\frac{2}{3}$）²×（1-$\frac{2}{3}$）^4-2=$\frac{8}{27}$；
P（B₂）=${C}_{4}^{3}$×（$\frac{3}{4}$）³×（1-$\frac{3}{4}$）^4-3=$\frac{27}{64}$．
由于甲、乙射击相互独立，
故P（A₂B₂）=P（A₂）•P（B₂）=$\frac{8}{27}$×$\frac{27}{64}$=$\frac{1}{8}$．
所以两人各射击4次甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为$\frac{1}{8}$．-----------（12分）

点评 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式、n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式、对立事件概率计算公式的合理运用．