Question

20．已知a＞b，一元二次不等式ax²+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，又?x₀∈R，使ax₀²+2x₀+b=0成立，则2a²+b²的最小值为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据二次函数的性质求出ab=1，根据基本不等式的性质求出2a²+b²的最小值即可．

解答 解：∵已知a＞b，二次不等式ax²+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，
∴a＞0，且△=4-4ab≤0，∴ab≥1．
再由?x₀∈R，使ax₀²+2x₀+b=0成立，可得△=0，∴ab=1，
∴2a²+b²≥2$\sqrt{{{2a}^{2}b}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
当且仅当2a²=b²即b=$\sqrt{2}$a时“=”成立，
故选：D．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查不等式的性质，是一道中档题．