Question

15．已知三棱锥O-ABC中，OA=OB=2，OC=4$\sqrt{2}$，∠AOB=120°，当△AOC与△BOC的面积之和最大时．则三棱锥O-ABC的外接球的体积为（　　）

• A． 16$\sqrt{3}$π
• B． 32$\sqrt{2}π$
• C． $\frac{64\sqrt{2}}{3}$π
• D． 32$\sqrt{3}π$

Answer 1

分析 由题意当△AOC与△BOC的面积之和最大时，CO⊥平面OAB，求出三棱锥O-ABC的外接球的半径，即可求出三棱锥O-ABC的外接球的体积．

解答 解：由题意当△AOC与△BOC的面积之和最大时，CO⊥平面OAB，
OA=OB=2，∠AOB=120°，则AB=2$\sqrt{3}$，∴△OAB的外接圆的直径为2R=$\frac{2\sqrt{3}}{sin120°}$=4，
∴三棱锥O-ABC的外接球的直径为$\sqrt{16+32}$=4$\sqrt{3}$，
∴三棱锥O-ABC的外接球的半径为2$\sqrt{3}$，
∴三棱锥O-ABC的外接球的体积为$\frac{4}{3}π•（2\sqrt{3}）^{3}$=32$\sqrt{3}π$
故选：D．

点评 本题考查三棱锥O-ABC的外接球的体积，考查学生分析解决问题的能力，确定当△AOC与△BOC的面积之和最大时，CO⊥平面OAB是关键．