Question

5．已知抛物线y²=4px（p＞0）的焦点为F，圆W：（x+p）²+y²=p²的圆心到过点F的直线l的距离为p．
（1）求直线l的斜率；
（2）若直线1与抛物线交于A．B两点．△WAB的面积为8．求抛物线的方程．

Answer 1

分析 （1）圆W：（x+p）²+y²=p²的圆心到过点F的直线l的距离为p，|FW|=2p，可得直线l的倾斜角为30°，即可求直线l的斜率；
（2）直线方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-p），代入y²=4px，整理可得y²-4$\sqrt{3}$px-4p²=0，利用△WAB的面积为8，求出p，即可求抛物线的方程．

解答 解：（1）抛物线的焦点坐标为（p，0），则
∵圆W：（x+p）²+y²=p²的圆心到过点F的直线l的距离为p，|FW|=2p，
∴直线l的倾斜角为30°，斜率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）直线方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-p），代入y²=4px，整理可得y²-4$\sqrt{3}$px-4p²=0，
∴y=（2$\sqrt{3}$±4）p，
∵△WAB的面积为8，
∴$\frac{1}{2}×2p×8p$=8，
∵p＞0，
∴p=1，
∴抛物线的方程为y²=4x．

点评 本题考查直线的斜率，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．